Правильний трикутник і чотирикутник

Квадрат, розбитий на попарно нерівні квадрати, називається здійсненим.

Порядком квадрата, розбитого на складені квадрати, називається число складових його квадратів.

Розбиття квадрата, ніяка підмножина квадратів якого не утворює прямокутника (не рахуючи окремих квадратів), називається простим.

Розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Цифра усередині кожного квадрата означає довжину його сторони. Відповідно, довжина сторони великого квадрата рівна (складаючи довжини сторін крайніх квадратів) 50 + 35 + 27 = 50 + 29 + 33 = 33 + 37 + 42 = 27 + 19 + 24 + 42 = 112

     

Квадрування квадрата — завдання про розбиття квадрата на кінцеве число менших квадратів. У вужчому сенсі — завдання про розбиття квадрата на кінцеве число попарно нерівних між собою квадратів.

Довгий час вважалося, що це надзвичайно важке математичне завдання нерозв'язне. У — роках її вирішили чотири студенти Трініті-коледжу Кембріджського університету Р.  Л.  Брукс (R. L. Brooks), До.  А.  Б.  Сміт (C. A. B. Smith), А.  Р.  Стоун (A. H. Stone) і У.  Т.  Татт (W. T. Tutte).

Коротка історія

Найперші знайдені Бруксом, Смітом, Стоуном і Таттом довершені квадрати були 69-го порядку. У 1939 році Р.  Шпраг (R. Sprague) знайшов довершений квадрат 55-го порядку, це був перший опублікований довершений квадрат. Пізніше за Т.  Р.  Уїллкокс (T. H. Willcocks) знайшов довершений квадрат 24-го порядку, який довгий час тримав рекорд трохи порядку.

Нарешті, в 1978 році голландський математик А.  Й.  У.  Дуйвестейн (A. J. W. Duijvestijn) за допомогою комп'ютера знайшов розбиття квадрата на 21 квадрат, серед яких немає рівних. Він довів, що не існує довершеного квадрата меншого порядку, а також показав, що знайдене ним розбиття — єдино можливе для 21-го порядку.

Кубирование куба

«Кубирование куба», то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов невозможно. Доказательство этого факта было дано Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом.

Доказательство

Допустим, что искомое разбиение куба существует.

Рассмотрим одну из граней куба, очевидно, не уменьшая общность, можно выбрать нижнюю грань.

На нижней грани стоят разновеликие кубы, своими нижними рёбрами разбивающие грань на разновеликие квадраты.

Найдём самый маленький квадрат разбиения нижней грани. Очевидно, что этот квадрат не может примыкать к ребру куба, будучи ограничен сторонами бо́льших квадратов, следовательно, он должен располагаться где-то внутри грани.

Теперь рассмотрим верхнюю грань этого малого кубика. Поскольку по предположению это самый маленький кубик на нижней грани куба, он окружен более высокими кубами. Поэтому на его верхнюю грань не заступает ни один соседний куб. Следовательно, стоящие на этой грани кубики меньшего размера снова разбивают верхнюю грань этого кубика на разновеликие квадраты, причём самый малый квадрат разбиения верхней грани рассматриваемого кубика снова не может принадлежать ребру кубика и находится внутри грани.

Продолжая этот процесс рассуждения, приходим к противоречию, что доказывает теорему.

Также легко доказывается теорема о невозможности «гиперкубирование гиперкуба» для гиперкубов любой размерности, большей 3-х. Действительно, для любой размерности n гиперкубы разбиения, прилегающие к какой-либо (n − 1)-мерной гиперграни исходного гиперкуба, должны разбивать эту гипергрань на конечное число попарно неравных (n − 1)-мерных гиперкубов. При n = 4 «гиперкубирование» невозможно, так как должно порождать «кубирование» 3-мерных гиперграней исходного 4-мерного гиперкуба. Индукцией по n можно сделать заключение о невозможности «гиперкубирования» для всех n > 3.

Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых   проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.^[1]

В XX веке математики изобрели мощные методы исследования формы сложных объектов. Основная идея состоит в том, чтобы выяснить, до какой степени мы можем аппроксимировать форму данного объекта, склеивая вместе простые тела возрастающей размерности. Этот метод оказался эффективным при описании разнообразных объектов, встречающихся в математике. При этом были не ясны геометрические обоснования метода: в некоторых случаях было необходимо прибавлять части, которые не имели никакого геометрического истолкования.

Доказать гипотезу Ходжа удалось для некоторых частных случаев. Более общее доказательство пока не найдено, не найдено и доказательство обратного — что гипотеза неверна.